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秦九韶

南宋大数学家秦九韶

  秦九韶(公元1202-1261),字道古,安岳人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。其父秦季栖,进士出身,官至上部郎中、秘书少监。 秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年(1231),秦九韶考中进士,先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官,1261年左右被贬至梅州(今广东梅县),不久死于任所。他在政务之余,对数学进行虔心钻研,并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料,进行分析、研究。

  宋淳祜四至七年(1244至1247),他在为母亲守孝时,把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑,写成了闻名的巨著《数书九章》,并创造了“大衍求一术”。这不仅在当时处于世界领先地位,在近代数学和现代电子计算设计中,也起到了重要作用,被称为“中国剩余定理”。他所论的“正负开方术”,被称为“秦九韶程序”。现在,世界各国从小学、中学到大学的数学课程,几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。秦九韶在数学方面的研究成果,比英国数学家取得的成果要早800多年。

  秦九韶贡献

  秦九韶的数学成就及对世界数学的贡献主要表现在以下方面:

  1、秦九韶的《数书九章》是一部划时代的巨著

  秦九韶潜心研究数学多年,在湖州守孝三年,所写成的世界数学名著《数学九章》,《癸辛杂识续集》称作《数学大略》,《永乐大典》称作《数学九章》。全书九章十八卷,九章九类:“大衍类”、“天时类”、“田域类”、“测望类”、“赋役类”、“钱谷类”、“营建类”、“军旅类”、“市物类”,每类9题(9问)共计81题(81问),该书内容丰富至极,上至天文、星象、历律、测候,下至河道、水利、建筑、运输,各种几何图形和体积,钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到现在仍有很高的参考价值和实践意义,被誉为“算中宝典”。该书著述方式,大数书九章多由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草曰”四部分组成:“问曰”,是从实际生活中提出问题;“答曰”,给出答案;“术曰”,阐述解题原理与步骤;“草曰”,给出详细的解题过程。此书已为国内外科学史界公认的一部世界数学名著。此书不仅代表着当时中国数学的先进水平,也标志着中世纪世界数学的最高水平。我国数学史家梁宗巨评价道:“秦九韶的《数书九章》(1247年)是一部划时代的巨著,内容丰富,精湛绝伦。特别是大衍求一术(不定方程的中国独特解法)及高次代数方程的数值解法,在世界数学史上占有崇高的地位。那时欧洲漫长的黑夜犹未结束,中国人的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒。”

  2、秦九韶的“大衍求一术”,领先卡尔·弗里德里希·高斯554年,被康托尔称为“最幸运的天才”

  秦九韶所发明的“大衍求一术”,即现代数论中一次同余式组解法,是中世纪世界数学的最高成就,比西方1801年著名数学家高斯(Gauss,1777—1855年)建立的同余理论早554年,被西方称为“中国剩余定理”。秦九韶不仅为中国赢得无尚荣誉,也为世界数学作出了杰出贡献。

  3、秦九韶的任意次方程的数值解领先霍纳572年

  秦九韶在《数书九章》中除“大衍求一术”外,还创拟了正负开方术,即任意高次方程的数值解法,也是中世纪世界数学的最高成就,秦九韶所发明的此项成果比1819年英国人霍纳(W·G·Horner,1786—1837年)的同样解法早572年。秦九韶的正负方术,列算式时,提出“商常为正,实常为负,从常为正,益常为负”的原则,纯用代数加法,给出统一的运算规律,并且扩充到任何高次方程中去。

  此外,秦九韶还改进了一次方程组的解法,用互乘对减法消元,与现今的加减消元法完全一致;同时秦九韶又给出了筹算的草式,可使它扩充到一般线性方程中的解法。在欧洲最早是1559年布丢(Buteo,约1490—1570年,法国)给出的,他开始用不很完整的加减消元法解一次方程组,比秦九韶晚了312年,且理论上的不完整也逊于秦九韶。

  秦九韶还创用了“三斜求积术”等,给出了已知三角形三边求三角形面积公式,与海伦(Heron,公元50年前后)公式完全一致。秦九韶还给出一些经验常数,如筑土问题中的“坚三穿四壤五,粟率五十,墙法半之”等,即使对现在仍有现实意义。秦九韶还在十八卷77问“推计互易”中给出了配分比例和连锁比例的混合命题的巧妙且一般的运算方法,至今仍有意义。

    大衍求一术

  中国古代求解一类大衍问题的方法。大衍问题源于《孙子算经》中的“物不知数”问题:“今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”这是属于现代数论中求解一次同余式方程组问题。宋代数学家秦九韶在《数书九章》(1247年成书)中对此类问题的解法作了系统的论述,并称之为大衍求一术。德国数学家C.F.高斯是在1801年才建立起同余理论的,大衍求一术反映了中国古代数学的高度成就。

  中国剩余定理

  民间传说着一则故事——“韩信点兵”。

  秦朝末年,楚汉相争。一次,韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场,楚军不敌,败退回营,汉军也死伤四五百人,于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡,忽有后军来报,说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬,杀声震天。汉军本中国剩余定理来已十分疲惫,这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶,见来敌不足五百骑,便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排,结果多出2名;接着命令士兵5人一排,结果多出3名;他又命令士兵7人一排,结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布:我军有1073名勇士,敌人不足五百,我们居高临下,以众击寡,一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅,这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动,鼓声喧天,汉军步步进逼,楚军乱作一团。交战不久,楚军大败而逃。

  首先我们先求3、5、7、的最小公倍数105(注:因为3、5、7为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积),乘以10,然後再加23,得1073(人)。

  在一千多年前的《孙子算经》中,有这样一道算术题:

  “今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”按照今天的话来说:一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数.
  这样的问题,也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题,也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”,这是由中国人首先提出的.

  ① 有一个数,除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几?

  解:除以3余2的数有:
  2, 5, 8, 11,14, 17, 20, 23….
  它们除以12的余数是:
  2,5,8,11,2,5,8,11,….
  除以4余1的数有:
  1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,….
  它们除以12的余数是:
  1, 5, 9, 1, 5, 9,….
  一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中,只有5是共同的,因此这个数除以12的余数是5.
  如果我们把①的问题改变一下,不求被12除的余数,而是求这个数.很明显,满足条件的数是很多的,它是 5+12×整数,
  整数可以取0,1,2,…,无穷无尽.事实上,我们首先找出5后,注意到12是3与4的最小公倍数,再加上12的整数倍,就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2,除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件,我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并,就可找到答案.

  ②一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的最小数.

  解:先列出除以3余2的数:
  2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…,
  再列出除以5余3的数:
  3, 8, 13, 18, 23, 28,….
  这两列数中,首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数,列出这一串数是8, 23, 38,…,再列出除以7余2的数 2, 9, 16, 23, 30,…,
  就得出符合题目条件的最小数是23.
  事实上,我们已把题目中三个条件合并成一个:被105除余23.
  那么韩信点的兵在1000-1500之间,应该是105×10+23=1073人

  中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题:「今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?」

  答曰:「二十三」

  术曰:「三三数之剩二,置一百四十,五五数之剩三,置六十三,七七数之剩二,置三十,并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得。凡三三数之剩一,则置七十,五五数之剩一,则置二十一,七七数之剩一,则置十五,即得。」

  孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理。中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

    秦九韶算法

  把一个n次多项式f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0]改写成如下形式:
  f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1))+......+a[1]x+a[0]
  =(a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+......+a[1])x+a[0]
  =((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+......+a[2])x+a[1])x+a[0]
  =......
  =(......((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+......+a[1])x+a[0].
  求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即
  v[1]=a[n]x+a[n-1]
  然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
  v[2]=v[1]x+a[n-2]
  v[3]=v[2]x+a[n-3]
  ......
  v[n]=v[n-1]x+a[0]
  这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。
  (注:中括号里的数表示下标)

  上述方法称为秦九韶算法。直到今天,这种算法仍是多项式求值比较先进的算法

  该算法看似简单,其最大的意义在于将求n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值。在人工计算时,利用秦九韶算法和其中的系数表可以大幅简化运算;对于计算机程序算法而言,加法比乘法的计算效率要高很多,因此该算法仍有极大的意义,用于减少CPU运算时间。
  
外国人对秦九韶的评价

  秦九韶是他那个民族,他那个时代,并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一。
  --------------美国科学史家萨顿

    生活中的秦九韶

  对于秦九韶究竟是何等样人,除了“伟大的数学家”之外,通常就讳莫如深了。用现代的眼光看,秦九韶可能是中国历史上少见的奇人之一。

  关于秦九韶究竟是何等样人,其实宋人文献中留下了相当丰富的记载,主要可见于周密(人名)的《癸辛杂识续集》卷下和著名词人刘克庄文集中的“缴秦九韶知临江军奏状”。秦九韶18岁就统帅私人武装,为人“豪宕不羁”,如果将他和意大利文艺复兴时期的那些风云人物相比,竟有几分相似:他多才多艺,懂得星占、数学、音乐、建筑,还擅长诗文,会骑术、剑术、踢球等等。同时又利欲熏心,骄奢淫逸,热衷于做官,一心往上爬。秦九韶做过几任地方官,最后死在梅州任上。他最高做到大约相当于今天局级的官职。 秦九韶行为乖戾,出人意表,被他的同时代人认为是“不孝、不义、不仁、不廉”,平日横行乡里,恶霸一方,所以多次被褫去官职或取消任命。例如,在他担任地方长官的父亲宴客时,他带着妓女出席。又如,他竟能将他上司的田产“以术攫取之”,在其中建造他的超豪华庄园(他亲自设计那些奇特的房屋)。再如,他命令手下杀死自己的儿子,而且亲自设计了毒死、用剑自裁、溺死三种方案;当得知这名手下偷偷放了他儿子时,他竟巨额悬赏,满世界追杀儿子和这名手下。有一年夏天,秦九韶和一个他所宠爱的姬妾月夜在庭院中交欢,不意被一个汲水的仆役撞见,他认为那仆役有意窥探他的隐私,就诬告该仆役偷盗,将其送官,要求判仆役黥面流放。地方官认为该仆役罪不至此,没有按照秦九韶的要求判决,秦九韶为此怀恨地方官,竟企图将他毒死。当时的记载说秦九韶“多蓄毒药,如所不喜者,必遭其毒手”。

  这就是被刘克庄称为“暴如虎狼,毒如蛇蝎,非复人类”的秦九韶。毫无疑问,他是一个疯狂的恶棍,但与此同时,他确实也是一个天才的数学家。我们甚至可以推想,如果他有时间或精力写下音乐或建筑方面的著作,也可能又有某项历史性的贡献。可惜他的绝大部分时间和精力,看来都耗费在放纵物欲上了。

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